Contoh Soal dan Penyelesaian Induksi Matematika
Contoh soal dan Penyelesaian Induksi Matematika dibawah ini merupakan contoh Induksi Matematika sederhana, untuk itu anda bisa mengembangkan soal sampai yang rumit… Selamat belajar matematika
1. uktikann !≤ 2 pangkat n untuk n> 3
Jawab:
Terdapat beberapa langkahpembuktian dengan induksi matematika:
Langkah 1:
Jadi pernyataann! ≤2 pangkat n untukn>3 tidak benar (salah) untuk n=4
Dengan demikian pembuktian selesai, pernyataan tersebut tidak benar.
Buktikan bahwa benar 1 + 3 + 5 + … + ( 2n-1 ) = n pangkat 2
Jawab:
Langkah 1:
P(1)benar,karena 1= 12.
Jadi pernyataan tersebut benar untuk n=1
Langkah 2:
Asumsikan bahwa P(k) benar untuk semuak, yaitu:
Jadi pernyataan tersebut benar untuk n=k+ 1
Pembuktian selesai
Jadi pernyataan tidak benar untuk n= 1
Dengan demikian pembuktian selesai, pernyataan tersebut tidak benar.
Jadi pernyataan tersebut benar untuk n=1
Langkah 2:
Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga
benar untuk n = k+1.Hal ini dilakukan dengan cara :
Mengasumsikan pernyataan tersebut benar untuk n=k+ 1,yaitu
n=k maka 1(1!)+ 2(2!)+ 3(3!) +…+ k(k!) =(k+ 1)! –1
Selanjutnya akan ditunjukkan pernyataan tersebut juga benar untuk n= k+1.
Dari asumsi diatas :
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) =(k+ 1)!–1
Tambahkan (k+1) (k+1)! pada keduaruas.
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) +(k+ 1)(k+ 1)! =(k+1)! –1+(k+1)(k+1)!
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) +(k+ 1)(k+ 1)! =(k+1)! +(k+1)(k+1)! –1
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) +(k+ 1)(k+ 1)! =(k+1)! (1+ (k+1)) –1
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) +(k+ 1)(k+ 1)! =(k+1)! (k+1 +1) –1
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) +(k+ 1)(k+ 1)! =(k+1)! (k+2) –1
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) +(k+ 1)(k+ 1)! =(k+2)(k +1)! –1
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) +(k+ 1)(k+ 1)! =(k+2)! –1
1(1!)+ 2(2!) +3(3!) +…+ k(k!) +(k+ 1)(k+ 1)! =((k+ 1)+1)!–1
Jadi pernyataan tersebut benar untuk n=k+ 1
Pembuktian selesai.
Jadi pernyataan tersebut benar untuk n=k+ 1
Pembuktian selesai.