Contoh Soal Dan Pembahasan Himpunan Urut Parsial

1. Jika a,b є P, a ≤ b, a = b dan tak ada anggota lain c sedemikian hingga a ≤ b ≤ c maka relasi a ≤ b dinyatakan dengan rantai langsung dengan posisi b diatas a.

gmbr himpunan urut parsial

2. A = {1,2,3,4} dan ≤ didefinisikan sebagai relasi “lebih kecil ata sama dengan”.Dapat diperiksa bahwa ( A , ≤ ) merupakan sebuah rantai.

Diagram hasse untuk ( P,≤ ) adalah :

gmbr soal himpunan urut parsial 2

Dari diagram diatas dapat disimpulkan bahwa A sebuah himpunan dengan relasi ≤,dan merupakan poset (himpunan terurut secara pasial.Karena A “lebih kecil atau sama dengan” maka diurutkan dari 1 sampai 4 dengan arah ke atas,dan karena garis panah telah diasumsikan ke atas maka tanda panah kita hapus dan diganti dengan bulatan-bulatan saja.

3. Misal didefinisikan sebuah parsial order R ={ (a,b)| a ≤ b } pada himpunan { 1 , 2 , 3 , 4 } kita dapat membuat representasinya dalam bentuk graf berarah sebagai berikut (dalam hal ini , arah panah selalu ke atas ).

cntoh gmbr soal himpunan urut parsial 3

Pada gambar diatas,karena sifat parsial order (poset) reflexive (mementul),maka kita tidak perlu menunjukan loop untuk masing-masing simpul.Sehingga diagram akan berubah menjadi seperti dibawah ini :

cnth soal 4 himpunan urut parsial

Kemudian karena partial order (poset) bersifat transitive (menghantar),maka kita tidak perlu menunjukan edge (garis tepi) yang harus disajikan karena ke-transitive-an dari partial order tersebut,sehingga garis tepi pada ( 1,3 ),( 1,4 ),( 2,4 ) dihapus dan diagram akan menjadi seperti berikut:

garis hmpunan urut parsial

Jadi jika kita telah mengasumsikan bahwa semua sisi mengarah ke atas,maka kita tidak perlu lagi menunjukan arah sisi.Dengan demikian diagram yang dihasilkan adalah diagram yang berisi informasi yang cukup untuk memenuhi partial order yang kemudian disebut dengan Diagram Hasse.

Untuk lebihjelasnya berikut adalah langkah-langkah membuatdiagram hasse :

  1. Hapus loop untuk masing-masing simpul
  2. Hapus semua sisi yang harus disajikan karena sifat poset yang ke-transitive-an. Contoh jika ada (a,b) dan (b,c),maka hapus sisi (a,c).Jika ternyata ada (c,d) maka hapus sisi (a,d).
  3. Atur masing-masing sisi,hingga simpul awalnya (initial vertex-nya ) berada dibawah simpul terminal (terminal vertex) .Dengan kata lain,buat agar tanda panahnya mengarah ke atas.
  4. Langkah terakhir adalah hapus semua panahnya sehingga hanya akan ada bulatan kecil saja.

Selain itu ada juga diagram untuk urutan invers.Diagram ini adalah diagram awal yang edge-edgenya dibalik.Contohnya yaitu :

Misal terdapat himpunan D = {1,2,3,4,5} yang terurut secara linear yang diurutkan seperti gambar dibawah ini :

foto diagram urut parsial

Dari beberapa contoh diatas,dapat kita ambil kesimpulan bahwa diagram poset adalah diagram dengan elemen-elemen dari suatu himpunan dengan relasi R yang mempunyai syarat reflexive,transitive,dan antisymmetrice yang terurut parsial (poset) dengan kriteria dan sifat tertentu,serta mempunyai arah yang kemudian dapat digambarkan dengan bulatan atau titik.

– Contoh Diagram poset dengan batas atas dan batas bawah .

Misalkan X = { 2,3,6,12,24,36 }.Didefinisikan dengan X ≤ Y sebagai Y habis dibagi X,maka tentukan

  1. a)Gambar diagram hasse dari (X,≤)
  2. b)Cari batas atas dari (2,3)
  3. c)Cari batas bawah dari (24,36)

Pembahasan:

a)Diagram hasse untuk (X,≤)

jwbn diagram urut parsial

Batas atas dari (2,3) adalah 6,12,24,36 .

c) Batas bawah dari (24,36) adalah 12,6,3,2 .

– Contoh diagram poset dengan penentuan batas atas terkecil (supremum) dan batas bawah terbesar (infimum ) .

Misalkan X = { 2,5,10,20,40,100 }.Definisikan X ≤ Y sebagai Y habis di bagi X ,maka tentukan:

a)Diagram hasse untuk (X , ≤)

b)Tentukan batas atas dari (2,5)

c)Tentukan batas bawah dari (40,100)

d)Tentukan supremum dari (2,5)

e)Tentukan infimum dari (40,100)

Jawab :

a)a)  Diagram hasse untuk (X,≤)

jwbn diagram urut parsial 2

b) Batas atas dari (2,5) adalah 10,20,40,100

c)c) Batas bawah dari (40,100) adalah 20,10,5,2

d)d) Supremum dari (2,5) adalah 10

e)e) Infimum dari (40,100) adalah 20

– Jadi jika ada c є P sehingga c batasa atas dari (a,b) dan untuk setiap batas d dari (a,b) berlaku c ≤ d,maka c adalah batas atas terkecil (supremum) dari (a,b) ,dilambangkan dengan C = a O b

– Sebaliknya jika ada p є P sehingga p batas bawah dari (a,b) dan untuk setiap batas q dari (a,b) berlaku q ≤ p,maka q dinamakan batas bawah terbesar (infimum) dan dilambangkan P

Contoh dan Pembahasan Fungsi Asosiatif

SOAL & PEMBAHASAN
1.Misalkan A = (1,2,3,4,5) dan fungsi-fungsi f : A –>A dan g : A–> A didefinisikan oleh :

f (1) = 3, f (2) = 5, f (3) = 3, f (4) = 1, f (5) = 2
g (1) = 4, g (2) = 1, g (3) = 1, g (4) = 2, g (5) = 3

carilah fungsi-fungsi komposisi f o g dan g o f

2.Misalkan fungsi f : R # –>R# dan g : R# didefinisikan oleh f (x)= 2x + 1, g(x) = x2 – 2
Carilah rumus-rumus yang mendefinisikan hasilkali fungsi g o f dan f o g

3.Misalkan fungsi f : A –>B dan B –> C didefinisikan oleh diagram panah

contoh fungsi dari hasil kali asosiatif

Carilah hasilkali fungsi (g o f) : A –> C

4.Diketahui f(x) =2x + 5 dan g(x) = 3×2
Tentukan : a. (fog) (x)
b. (gof) (x)

5.Diketahui f(x) =12 –8x dan g (x) =x2 -6serta h (x) = 5x
Tentukan : a. (fog) (x) c. [ (fog) [h ] (x)
b. (gof) (x) d. [fo (goh) ] (x)

 

Pembahasan:

PEMBAHASAN :
1(fog) (1 ) f (g(1)) = f (4) =1
.(fog) (2 ) f (g(2)) = f (1) =3
. (fog) (3 ) f (g(3)) = f (1) =3
(fog) (4 ) f (g(4) = f (2) =5
(fog) (5 ) f (g(5)) = f (3) =3
Juga
(g o f) (1) g(f(1) ) = f(3 ) = 1
(g o f) (2) g(f(2) ) = f(5 ) = 3
(g o f) (3) g(f(3) ) = f(3 ) = 1
(g o f) (4) g(f(4) ) = f(1 ) = 4
(g o f) (5) g(f(5) ) = f(2 ) = 1

 

jawaban fungsi asosiatif hasil kali

jawaban fungsi asosiatif hasil kali nomor 5

Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Invers

Berikut ini 5 Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Invers

1. Tentukan apakah diagram di bawah ini adalah sebuah fungsi:

contoh fungsi invers soal 1

2. Jika f : N –> N apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi pada?
a. f (x) = 2x + 1
b. f (x) = x2 + 1
c. f (x) = 2x
d. f (x) = |x|
e. f (x) = x
f. f (x) = 3x + 1
g. f (x) = 3x – 2

3. Fungsi f : R–>R dinyatakan dengan f (x) = 2x – 6, tentukan rumus fungsi inversnya.

4. Diketahui relasi yang terdiri dari 2 objek yang berurutan yaitu (Abdul, 22), (Brenda, 24), (Carla, 21), (Edi, 22), dimana tiap pasangan berisi mahasiswa yang lulus dan usianya.
Ditanya:
a. Buatlah fungsinya
b. Tentukan:
– Domain
– Kodomain
– Range

5. Carilah rumus fungsi f jika diketahui  f (x) = 3x +5 /2x -4, dimana 2x – 4 ≠ 0. Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi f tersebut.

Jawaban / Pembahasan:

1. Jawaban

Diagram tersebut bukan fungsi, karena ada elemen pada A yang tidak mendapatkan pasangannya.

2. Jawaban

1. f (x) = 2x + 1 bukan fungsi pada karena ada 2 yang anggota kodomain, tetapi

persamaan 2 = 2x + 1 hanya mempunyai solusi ½ ϵ N.

2. f (x) = x2 + 1 bukan fungsi pada karena ada 3 yang anggota kodomain, tetapi

persamaan 3 = x2 + 1 mempunyai solusi x =   ϵ N.

3. bukan fungsi pada karena anggota kodomain yang berupa bilangan ganjil tidak

mempunyai prapeta.

3. Jawaban

 

jwbn soal no 3 invers4. Jawaban

a. Fungsi –> f (Abdul) = 22, f (Brenda) = 24, f (Carla) = 21, f (Edi) = 24
b. – Domain –> {Abdul, Brenda, Carla, Edi}
– Kodomain –> Himpunan bilangan integer positif
– Range –> {21, 22, 24}

5. Jawaban

jawaban soal nomor 5 invers

Contoh Soal dan Pembahasan Diagram Venn Sederhana

1. Perhatikan diagram Venn berikut!

contoh soal Diagram Venn terbaru 2017

P ∩ Q adalah ….

2. Pada sebuah kelas yang terdiri dari 40 siswa dilakukan pendataan pilihan ekstrakurikuler wajib, dengan menggunakan angket. Hasil sementara dari siswa yang sudah mengembalikan angket adalah 20 siswa memilih pramuka, 17 siswa memilih PMR, dan 6 siswa memilih kedua ekstrakurikuler tersebut. Banyak siswa yang belum mengembalikan angket adalah …

3. Diketahui A = (1,2,3,4,5) dan B = (3,4,5).
Irisan dari A dan B adalah..

4. Diketahui :A = (2,4,6,8) dan B (2,3,5,7,11)
a. Selisih himpunan A dengan B adalah…
b. Selisih himpnan B dengan A adalah…

5. Soal

selisih himpunan venn

Tentukan :

  1. Ac
  2. Bc
  3. Dc
  4. (A                    B)c
  5. (A                    B)c
  6. (A                    B            D )c

 

Pembahasan:

1.  Jawaban

Dari diagram Venn dapat dilihat bahwa:

P = {1, 3, 4, 5},

Q ={1, 2, 5, 6}

P Q = {1,5}

2. Jawaban:

langkah pertama adalah menuliskan banyak siswa yang memilih dua ekstrakurikuler sekaligus yaitu 6 siswa. Langkah kedua menentukan banyak siswa yang memilih pramuka saja yaitu 20 – 6 = 14. Langkah ketiga menentukan banyak siswa yang memilih PMR saja yaitu 17 – 6 = 11. Langkah kedua dan ketiga dapat dibalik urutannya. Dari proses ini dapat diketahui banyak siswa yang belum mengembalikan angket yaitu jumlah siswa dikurangi dengan banyak siswa yang memilih pramuka saja, PMR saja dan dua ekstrakurikuler sekaligus.

jawaban soal diagram venn

= 40 – (14 + 6 + 11)
= 40 – 31 = 9
Jadi siswa yang belum mengembalikan angket sebanyak 9 siswa.

3. Jawaban:

jawaban soal diagram venn terbaru 2017

Anggota 3 dan 4 dimiliki bersama oleh A dan B.  Irisan antara A dan B ditulis  A        B adalah A       B = (3,4)

4. Jawaban:

a.

jawaban diagram venn nomor 3 2017

A – B  ( 6, 4, 8)

b. jawaban:

jawaban soal diagram venn nomor 4 b

B – A (3, 5, 7, 11)

5. Jawaban

a. Ac = (1 ,3, 5)
b. Bc =(1, 2, 5)
c. Dc =(1, 2 ,3, 6, 12)
d. (A B)c = ( 1, 2, 3, 5)
e. (A B)c = (1, 5)
f. (A B D )c = (1)

 

Demikian Contoh Soal dan Pembahasan Diagram Venn  yang bisa kami berikan, lain waktu akan kami berikan contoh soal diagram venn dengan soal lebih kompleks..

 

Contoh Soal Diagram Fungsi Dan Pembahasannya

Soal

1. Jika A = {a,b,c} dan B = {1,2,3} manakah diantara tiga relasi berikut yang merupakan fungsi dari A ke B? Jawab beserta alasan.

  1. {(a,1),(a,3),(b,2),(c,3)}
  2. {(a,1),(b,2)}
  3. {(a,2),(b,3),(c,3)}

2. Gambarkan diagram fungsi dari A ke B untuk f(x) = x2 – 1 dimana A = {-1,0,1,2} dan B= {-1,0,1,2,3}

3. Diketahui A = {1,2,3}, B = {a,b,c,d}.

  1. {(1,a),(2,b),(3,e)}
  2. {(1,a),(2,a),(3,c)}
  3. {(1,a),(2,b),(2,c)}

Manakah diantara contoh diatas yang merupakan fungsi? Berikan alasan!

4. Diketahui fungsi f(x)= 4-x2, x < 0

2x+3, 0 ≤ x < 2

5, x ≥ 2

Tentukan f(-3) + f(1) + f(3) = . . .

5. Suatu fungsi f(x) = x2 + 13 dimana 1 ≤ x ≤ 5. Tentukan hasil dari:

i. f(0)

ii. f(3)

iii. f(7)

Pembahasan:

1. (i) bukan fungsi karena elemen A dua kali dipetakan ke B

(ii) bukan fungsi karena ada elemen A yang tidak mempunyai peta di B

(iii) adalah fungsi.

 

2. f(x) = x2 – 1

f(-1) = (-1)2 – 1 = 1 – 1 = 0

f(0) = (0)2 – 1 = 0 – 1 = -1

f(1)= 12 – 1 = 1 – 1 = 0

f(2)= 22 – 1 = 4 – 1 = 3

3. Jawaban:

jawaban diagram fungsi soal 3

i. Bukan fungsi, karena e bukn elemen B
ii. Fungsi, karena semua elemen A memiliki peta di B
iii. Bukan fungsi karena ada elemen A yang dua kali dipetakan ke B

4. f(-3) memenuhi syarat x < 0, maka
f(x) = 4 – x2
f(-3) = 4 – (-3)2 = 4 – 9 = -5
f(1) memenuhi syarat 0 ≤ x < 2, maka
f(x) = 2x + 3
f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
f(3) memenuhi syarat x ≥ 2, maka
f(3) = 5
f(-3) + f(1) + f(3) = -5 + 5 + 5 = 5

5. i. Tidak memiliki hasil karena 0 < 1, 0 bukan x
ii. f(x) = x2 + 13
f(3) = (3)2 + 13 = 9 + 13 = 22
iii. Tidak memiliki hasil karena 7 > 5, 7 bukan x

Demikian Contoh Soal Diagram Fungsi Dan Pembahasannya semoga bermanfaat dan dapat sebagai media pembelajaran. Jika ada yang kurang jelas silakan komen ya..

Contoh Soal Diagram Poset dan Pembahasannya

1. Misal A = [V,W,X,Y,Z]
Apabila Y≤W,Y≤V,Z≤V dan seterusnya,maka diagramnya adalah?

2. Buatlah diagram dari suatu himpunan urut linear yang hingga yang membentuk chain sehingga membentuk path sederhana!

3. Isilah symbol yang tepat ,<,> atau || (tidak dapat dibandingkan) antara setiap pasangan dari bilangan-bilangan:

4. Misal A= [A,B,C,D,E] terurut menurut gambar berikut:

soal diagram poset terbaru

Sisipkan symbol yang tepat untuk setiap pasangan elemen

  1. A . . . E
  2. B . . . C
  3. D . . . A

5. Misal A = [1,2,3,4,5,6] terurut seperti pada gambar,carilah batas atas dari B apabila sub himpunan B = [2,3,4] dari A.

Pembahasan/Jawaban:

1.  Jawaban:

http://matematikapendidikan.com

2. Jawaban:

jawaban diagram poset nomor 2

3. Jawaban:

(a) <
(b) ||
(c) <

4. Jawaban:

a. >
b. ||
c. <

5. Jawaban:

Batas atas dari B adalah 1 & 2

 

Demikian Contoh Soal Diagram Poset dan Pembahasannya  semoga dapat menjadi referensi dan pembelajaran..Yang kurang jelas bisa komen dikolom komentar ya…

 

Contoh Soal Diagram Venn Dan Pembahasannya

1. Terjemahkan pernyataan berikut dalam diagram venn :
a. Semua mahasiswa adalah malas
b. Beberapanya adalah malas

2. Perhatikan asumsi asumsi berikut
S1 : tidak ada mobil praktis yang mahal
S2 : mobil dengan sunroofs adalah mahal
S3 : semua wagon adalah praktis
Tunjukan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut
a) Tidak ada mobil praktis dengan sunroofs
b) Beberapa wagon adalah mahal
c) Tidak ada wagon menggunakan sunroofs
d) Semua mobil praktis adalah wagon
e) Mobil dengan sunroofs adalah tidak praktis

3. Gambarkan asumsi berikut dalam diagram venn
S1 : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya
S2 : setiap pejabat adalah orang kaya
S3 : tidak ada orang kaya yang juga tenteram hidupnya

4. Gambarkan asumsi berikut dalam diagram venn
S1 : Pedagang adalah orang yang tenteram hidupnya
S2 : ada pemerintah yang merupakan orang kaya
S3 : tidak ada orang kaya yang juga tenteram hidupnya

5. Tentukan konklusi dari
a. S1 : semua A adalah B
S2 : semua A adalah C
b. S1 : semua B adalah C
S2 : semua A adalah B

Pembahasan:

jawaban himpunan venn

Himpunan mahasiswa tercakup dalam himpunan orang malas seperti pada gambar a
Himpunan mahasiswa dan orang malas memiliki elemen yang sama seperti oada gambar b

contoh jawaban himpunan venn no.2

Dari gambar di atas menunjukan bahwa pernyataan a , c , e merupakan kesimpulan yang benar.

soal dan pembahasan himpunan venn nomor 3

jawaban soal himpunan venn no.4

5. a. Semua a adalah himpunan dari B dan C
b. semua a adalah c

Semoga Contoh Soal Diagram Venn Dan Pembahasan di atas bermanfaat..

Contoh Soal Hukum Aljabar Himpunan dan pembuktiannya

  1. Ada dua cara membuktikan hukum-hukum pada aljabar himpunan. Sebutkan dan berikan penjelasan!
  1. Sebutkan hukum Idempoten!
  2. Sebutkan hukum Asosiatif!
  1. Sebutkan hukum Komutatif!
  1. Sebutkan hukum Distributif!

Jawab;

  1. Cara pertama adalah membuktikan bahwa himpunan hasil operasi pada ruas kiri merupakan himpunan bagian darihimpunan hasil pada ruas kanan dan sebaliknya. Cara kedua adalah dengan menggunakan diagram venn.

contoh soal himpunan aljabar matematika

Demikian Contoh soal hukum aljabar himpunan dan pembahasan, jika ada yang perlu ditanyakan silakan komen dibawah ya… Kami suka akan pertanyaan yang masuk dari kamu…

Pengertian Aljabar Boolean, Contoh Soal dan Pembahasan

pengertian aljabar boolean dan pembahasannyaBerikut pengertian dan contoh soal disertai pembahasan tentang aljabar boolean.

1. Apakah yang dimaksud dengan Aljabar Boolean?

2. Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Sebutkan nilai – nilai tersebut!

3. Sebutkan 4 hukum dalam aljabar boolean!

4. Tentukan dualitas dari :
a. (x * y) + (1 * x) * (y + 0)
b. (1 + a * 0) + 1 + (1 * b)

5. Urutkan tingkatan operator dalam operasi perhitungan aljabar boolean dimulai dari paling tinggi hingga yang paling rendah!

Pembahasan

1. Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang “mencakup intisari” operasi logika AND, OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.

2. Dua tipe data dalam Aljabar Boole adalah “True” dan “False”

3. Hukum Distributif, hukum komplemen, hukum identitas, dan hukum komutatif

4. Konsep dualitas, menukar tanda + dengan * atau sebaliknya dan menukar angka 1 dengan 0 atau sebaliknya

a. (x + y) * (0 + x) + (y * 1)
b. (0 * a + 1) * 0 * (0 + b)

  1. Urutan operator operasi perhitungan aljabar boolean paling tinggi hingga paling rendah adalah :

– tanda kurung “( )”

– tanda kali ” * ”

– tanda tambah ” + ” dan kurang ” – “